統計データの中心

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普通は平均値から計算するものだが、いろいろ都合があるのである。さきに中央値からやらせてもらう。


中央値

##成績データを使って計算してみよう。
##中央値とは、データを小さな順に並べて、データの総数の半分のところに来るものである。成績データは31個のデータからなるから、小さい順に並べて16番目に来たものが中央値になる。

##Rには中央値を計算してくれる関数があるので、それを使えば一発である。
median(seiseki)
[1] 73

##実は、中央値とデータそれぞれと差の絶対値の合計が最小になるのが中央値である。
これはつまり、中央値とデータとの距離の合計が最小になる、ということである。
逆に言えば、データのそれぞれから離れた(距離の大きい)値を、我々はそのデータ全体を代表する値として選ばないだろう。
データからの離れ具合の最も小さいもの=データそれぞれとの距離の合計が最も小さいものを、そのデータ全体を代表する値として選ぶだろう。
中央値とはまさしく、そのような値なのである。

##ためしに1~100の数字を候補として、他の値との差の絶対値の合計を計算してみよう。
kouho<-0
for(i in 1:100){kouho<-c(kouho,sum(abs(seiseki-i)))}
kouho
 [1]    0 2198 2167 2136 2105 2074 2043 2012 1981 1950 1919 1888 1857 1826 1795
[16] 1764 1733 1702 1671 1640 1609 1578 1547 1516 1485 1454 1423 1392 1361 1332
[31] 1303 1274 1245 1216 1189 1162 1135 1108 1081 1054 1027 1000  973  946  921
[46]  896  871  846  821  796  771  750  729  710  691  674  657  640  623  606
[61]  589  572  557  544  531  518  505  494  483  472  461  456  451  448  449
[76]  450  455  460  465  470  475  482  489  500  511  522  537  554  575  596
[91]  619  642  665  688  713  738  763  788  813  842  871

##最初にダミーの0が混じっているので取り除く
kouho<-kouho[-1]
kouho
 [1] 2198 2167 2136 2105 2074 2043 2012 1981 1950 1919 1888 1857 1826 1795 1764
[16] 1733 1702 1671 1640 1609 1578 1547 1516 1485 1454 1423 1392 1361 1332 1303
[31] 1274 1245 1216 1189 1162 1135 1108 1081 1054 1027 1000  973  946  921  896
[46]  871  846  821  796  771  750  729  710  691  674  657  640  623  606  589
[61]  572  557  544  531  518  505  494  483  472  461  456  451  448  449  450
[76]  455  460  465  470  475  482  489  500  511  522  537  554  575  596  619
[91]  642  665  688  713  738  763  788  813  842  871

##グラフを書いてみる。
plot(kouho)

##この中で最小なのは
min(kouho)
[1] 448
##では最小の値をとるiは
which(kouho==448)
[1] 73
##73であった。これはmedian(seiseki)の値と一致する。



平均値

##成績データを使って計算してみよう。
#Rには平均値を求める関数が用意されているので
、それを使えば一発である。
mean(seiseki)
[1] 71.90323

#それぞれの値を合計を求めて
、それを値の個数で割ると平均が求められる。
sum(seiseki) #合計を求める
[1] 2229
length(seiseki) #値の個数を求める
[1] 31
sum(seiseki)/length(seiseki) #合計を値の個数で割る
[1] 71.90323
##当然だがmean(seiseki)で求めた値と一致する。

##平均値は、それぞれの値と平均値の差を合計すると、ゼロになる値である。
##これも実際にやってみよう。

heikin_ten<-mean(seiseki) #平均値をheikin_tenの中に入れる。
heikin_karano_sa<-seiseki-heikin_ten #seisekiのそれぞれの値から平均値を引いたものをheikin_karano_saに入れる。

heikin_karano_sa #平均値からの差を表示。
[1] -21.9032258  10.0967742  -1.9032258 -17.9032258   3.0967742   0.0967742
[7]  -1.9032258 -38.9032258   8.0967742 -19.9032258  26.0967742   1.0967742
[13]  -9.9032258   1.0967742 -28.9032258  14.0967742  21.0967742  13.0967742
[19] -10.9032258  17.0967742  26.0967742 -43.9032258  15.0967742  28.0967742
[25] -21.9032258  15.0967742  -5.9032258  10.0967742  13.0967742  -1.9032258
[31]   3.0967742

sum(heikin_karano_sa) #「平均値からの差」を合計すると
[1] -8.526513e-14     #計算誤差のためゼロにならないが非常に小さな数である。
round(sum(heikin_karano_sa)) #丸めるとゼロになる。
[1] 0

##それぞれの値と平均値の差を合計すると、ゼロになるということは、
##それぞれの値と平均値の差の二乗和を最小にできるということでもある。
##試しにやってみよう(ただし整数値刻みでやるので、上の中央値の例ほど、きれいな結果は出ない)
kouho<-0
for(i in 1:100){kouho<-c(kouho,sum((seiseki-i)^2))}
kouho<-kouho[-1]  #最初にダミーの0が混じっているので取り除く
 kouho
 [1] 166238 161873 157570 153329 149150 145033 140978 136985 133054 129185 125378 121633 117950 114329
[15] 110770 107273 103838 100465  97154  93905  90718  87593  84530  81529  78590  75713  72898  70145
[29]  67454  64825  62258  59753  57310  54929  52610  50353  48158  46025  43954  41945  39998  38113
[43]  36290  34529  32830  31193  29618  28105  26654  25265  23938  22673  21470  20329  19250  18233
[57]  17278  16385  15554  14785  14078  13433  12850  12329  11870  11473  11138  10865  10654  10505
[71]  10418  10393  10430  10529  10690  10913  11198  11545  11954  12425  12958  13553  14210  14929
[85]  15710  16553  17458  18425  19454  20545  21698  22913  24190  25529  26930  28393  29918  31505
[99]  33154  34865

最小値をとる整数値は、
which(kouho==min(kouho))
[1] 72
平均値の
mean(seiseki)
[1] 71.90323
に一番近い整数値が得られた。


さらに強力(強引)かつ精密にやるには、関数の最大・最小化に使える関数optim()を使う方法がある。

まず最小化したい関数を定義する。それぞれの値との差の二乗和を最小にできるのが平均値であるから、
先の成績データseisekiを関数内にぶちこんで、二乗和の計算にはベクトルの内積を計算することで、これに代える。

関数は以下のようになる。
Fmean<-function(x){
seiseki<-c(50,82,70,54,75,72,70,33,80,52,98,73,62,73,43,86,93,85,61,89,98,28,87,100,50,87,66,82,85,70,75)
return( (seiseki-x)%*%(seiseki-x) )}

これを関数optim()で最小化する。適当な初期値(ここでは、ものぐさにも初期値=1とした)を与えるだけで、計算してくれる。
optim(1,Fmean)

$par
[1] 71.9
 (中略)
Warning message: 
one-diml optimization by Nelder-Mead is unreliable: use >optimize in: optim(1, Fmean) 

警告メッセージが出た。optim()の最小化法はいくつかから選べるが、デフォルトのNelder-Mead法は今回のような場合にはunreliable(信頼できない)と言う。
ならば違う方法("SANN" 法=確率的手法であるいわゆるシミュレーテッド・アニーリング法。)を使うことにしよう。method="SANN"としてやるだけで良い。

optim(1,Fmean,method="SANN")

$par
[1] 71.90324
 (以下略)

それぞれの値との差の二乗和を最小する方法で、
平均値のmean(seiseki)
 [1] 71.90323
に十分に近い精度の答えが出た。



これまでのような数値例では納得できない人は、数式を変形して証明することも可能である。

まず、それぞれの値と平均値の差の二乗和を数式で表そう。



は、それぞれの値xiと平均値(になるはずの数)tの差を表す。
は、それぞれの値と平均値の差の二乗

はそれぞれの値と平均値の差の二乗和である。


このT(それぞれの値と平均値の差の二乗和)を最小化するtを求めてみる(平均値と同じになるはずである)。

まずから平均値を足して引いても式の値は変わらないから
である。
これを2乗すると
したがって
である。

さて元々の平均値は、(i=1~n)をすべて足し合わせてnで割ったもの




であるから、平均をn個足し合わせた




は、ご覧の通り(i=1~n)をすべて足し合わせものと等しい。

したがって

から

であり、

の第2項は


で0である。

さて我々が最小化したいTは、結局、


というところまで簡単になった。あと一息である。
第1項について考えると、はゼロかプラスのいずれかであろうから、それらを足し合わせたはプラスに違いない。

についても同様で、はゼロかプラスに違いないが、Tを最小化するためには、はゼロであってほしい。ゼロならばn個足し合わせてもゼロでおさまるが、もしがプラスであればTはそれ以上の値になる(最小値をとらない)からである。

それ故にである。つまり、


したがって、それぞれの値と平均値の差の二乗和Tを最小化できるtとは、xiの平均値と等しくなければならないことが証明された。えっへん。


 (じつはこれは、回帰直線を求める最小自乗法の前振り/長すぎる助走なのである。同様の数式の展開に、最小自乗法で回帰直線を求めるときに我々は再会するだろう)。




最頻値

##最頻値は、頻度分布で最も大きい頻度をもつ値。
##ヒストグラムをつくるhist()は、グラフを表示せず(plot=Fと指定してやればいい)計算だけをやってくれるので、結果をresultという変数に一旦格納する。
result<-hist(seiseki,plot=F)
##さて、resultの中身はと言うと、
result
$breaks
[1]  20  30  40  50  60  70  80  90 100

$counts
[1] 1 1 3 2 6 6 8 4

$intensities
[1] 0.003225806 0.003225806 0.009677419 0.006451613 0.019354839 0.019354839 0.025806452 0.012903226

$density
[1] 0.003225806 0.003225806 0.009677419 0.006451613 0.019354839 0.019354839 0.025806452 0.012903226

$mids
[1] 25 35 45 55 65 75 85 95

$xname
[1] "seiseki"

$equidist
[1] TRUE

attr(,"class")
[1] "histogram"

##いろんな種類の値をパッケージしてあるようだ。こういうのをデータフレームと呼ぶ。
##データフレーム内のそれぞれの値を呼び出したり書き換えたりするには、正式には
データフレーム名$列名
などとすればいい。
##とりあえず必要なのは、それぞれの度数であるcountsと区間を表すbreaksである。

##最も多い度数はmax(result$counts)で求めることが出来る。これは 8 である。
##次に8の度数をもつのは何番目かどうかを知るにはwhichをつかう。
which(result$counts==8)
[1]7
7番目である。あとは7番目の区間がどれか求めれば良い。
result$breaks[7]
 [1] 80

これを1行で書けばこうなる
result$breaks[which(result$counts==max(result$counts))]
[1] 80
これが最頻値である。

実際にヒストグラムをかいて確かめるとよい。図は省略する。
hist(seiseki)


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